Всего: 209 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
На рисунке изображен график функции
Найдите значение параметра b.
Из рисунка следует, что
Ответ: −2.
Парабола 
пересекается с некоторой окружностью в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на параболе, задаваемой уравнением вида 
Уравнение окружности в имеет вид 
для некоторых чисел a, b, c. Поскольку точки пересечения окружности и и параболы удовлетворяют двум уравнениям, они удовлетворяют также любой их комбинации. В частности,
Это уравнение задаёт параболу требуемого вида.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено доказательство в общем случае. | 20 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 20 |
Известно, что график функции 
проходит через две различные точки с координатами (a, c) и (b, c). Найдите сумму a + b.
По условию задачи
тогда
Ответ: 2016.
Докажите, что для всех 
справедливо неравенство:
Указание: воспользуйтесь выпуклостью вниз графика функции 
на интервале 
Выполним преобразования
По условию 
Следовательно, числа 
лежат на интервале Рассмотрим функцию 
Её вторая производная 
положительна для всех 
значит, на этом интервале функция выпукла вниз.
На координатной плоскости отметим точки 
Левая часть последнего неравенства – сумма ординат точек A и B или, что тоже самое, – удвоенная ордината точки K – середины отрезка AB. Аналогично, правая часть последнего неравенства – удвоенная ордината точки M – середины CD. Поскольку 
выпукла вниз, весь отрезок AB расположен «выше» отрезка CD, а значит ордината точки K больше ординаты точки M. Неравенство доказано.
На координатной плоскости закрашены все точки, координаты которых удовлетворяют условию
Найдите площадь получившейся фигуры.
Ответ: 300.
Квадратные трехчлены g(x) и h(x) имеют одинаковые старшие коэффициенты, а их графики касаются графика квадратного трехчлена f(x). Докажите, что абсцисса точки пересечения графиков g(x) и h(x) лежит точно между абсциссами упомянутых точек касания.
Из условия следует, что трёхчлены g(x) − f(x) и h(x) − f(x) имеют по одному корню. Старшие коэффициенты у них при этом одинаковы, поэтому их можно представить как a(x − x1)2 и a(x − x2)2.
При этом точка пересечения графиков g(x) − f(x) и h(x) − f(x), очевидно, имеет ту же абсциссу, что и точка пересечения графиков g(x) и h(x).
Приравняем эти выражения, чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков и получим, что числа x − x1 и x − x2 равны по абсолютной величине. Равенства быть не может, так как иначе x1 и x2 совпадают, и g(x) и h(x) — это один и тот же трехчлен. Тогда x − x1 = x2 − x, откуда получаем 
что и требовалось доказать.
Замечание о том, что разности трёхчленов имеют по одному корню — 0,5 балла.
Квадратные трехчлены f(x) и g(x) имеют одинаковые старшие коэффициенты, а их графики касаются графика квадратного трехчлена h(x). Докажите, что абсцисса точки пересечения графиков f(x) и g(x) лежит точно между абсциссами упомянутых точек касания.
Из условия следует, что трёхчлены 
и 
по одному корню. Старшие коэффициенты у них при этом одинаковы, поэтому их можно представить как 
и 
При этом точка пересечения графиков и 
очевидно, имеет ту же абсциссу, что и точка пересечения графиков и 
Приравниваем эти выражения, чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков и получим что числа 
и 
равны по абсолютной величине. Равенства быть не может, так как иначе 
и 
совпадают и и 
- это один и тот же трёхчлен. Значит, 
откуда 
что и требовалось.
Замечание о том, что разности трёхчленов имеют по одному корню — 0,5 балла.
График квадратного трехчлена касается графика его производной. Докажите, что у трехчлена нет корней.
Касание графиков означает, что разность многочлена и производной имеет единственный корень. Пусть трёхчлен 
Их разность равна 
Её дискриминант должен быть равен 0, то есть 
Доказано, что 
имеет ровно один корень — 0,5 балла.
Выписана формула для дискриминанта — ещё 0,5 балла.
График квадратного трехчлена ax2 + bx + c с положительным старшим коэффициентом a касается графика его производной. Докажите, что 
Касание графиков означает, что разность многочлена и производной имеет единственный корень. Пусть трёхчлен равен тогда производная — это
Их разность равна Её дискриминант должен быть равен 0 , то есть
Доказано, что имеет ровно один корень — 0,5 балла.
Выписана формула для дискриминанта — ещё 0,5 балла.
Cсылка на сайт олимпиады: https://abiturient.tsu.ru/ru/content/ormo
Найти все числа a и b такие, что парабола 
касается прямых 
и 
Если прямая 
является касательной к параболе 
то они имеют единственную общую точку, следовательно, уравнение 
имеет ровно один корень. А это будет выполняться тогда и только тогда, когда дискриминант уравнения обращается в нуль. Поэтому, исходя из условия задачи, имеем систему уравнений:
или
Вычисляя дискриминанты этих уравнений, будем иметь
Решая эту систему для определения значений a и b, находим, что 
или 
Ответ: 
| Критерии | Баллы |
|---|---|
| Приведено обоснованное верное решение. | 8 |
| Получена только одна пара чисел a и b при обоснованном решении. | 4 |
На координатной плоскости рассматривается фигура M, состоящая из всех точек, координаты (x; y) которых удовлетворяют системе неравенств
Изобразите фигуру M и найдите её площадь.
Рассмотрим первое неравенство. Для раскрытия модулей рассматриваем три возможных случая.
1) При 
Тогда неравенство принимает вид
В этом случае решений нет.
2) При 
Тогда получаем
что выполняется при всех значениях x из рассматриваемого промежутка.
3) При 
Тогда
то есть решений также нет. Объединяя результаты, получаем, что 
Перейдём ко второму неравенству. Знаменатель дроби в его левой части обрушается в ноль в точках, принадлежавших 
(при этом неравенство не выполнено, так как дробь не определена). Числитель дроби обрушается в ноль при
Это множество точек есть парабола с ветвями вверх и вершиной в точке 
Точки пересечения прямой и параболы можно определить из системы уравнений
Отсюда выходят две точки — 
и 
Второе неравенство выполняется:
а) в точках параболы (кроме точек A и C);
б) в точках ниже параболы и выше прямой (при этом числитель отрицателен, а знаменатель положителен);
в) в точках выше параболы и ниже прямой (числитель положителен, а знаменатель отрицателен).
Учитывая также ограничение 
из первого неравенства, получаем, что множество М представляет собой совокупность двух множеств 
и 
первое из них есть криволинейный треугольник BCD, где 
и 
— это точки пересечения прямой 
с параболой и прямой \ell соответственно (его сторонами являются отрезки CD, BD и дуга параболы BC), а второе — область, ограниченная отрезком AC и дугой параболы AC (при этом все точки прямой AC не принадлежат множеству, а остальные граничные точки — принадлежат).
Из симметрии параболы относительно своей оси (т. е. прямой 
следует, что площадь фигуры 
ограниченной отрезком BC и дугой параболы BC, равна площади 
Ho 
а площадь этого треугольника несложно найти:
Ответ: 4.
Построено множество точек — 4 балла.
Если при этом неверно учтена граница множества (т. е. либо не исключены участки границы, на которых знаменатель обращается в 0, либо исключены участки границы, в которых числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, либо невозможно понять, какие из границ принадлежат множеству) — снять 1 балл.
Найдена площадь фигуры — 2 балла (эти баллы ставятся только в том случае, если множество точек построено верно или отличается от верного лишь некоторым количеством граничных точек).
За неполное построение множества возможны частичные баллы:
а) определено множество решений первого неравенства — 1 балл;
б) построены множества точек, в которых числитель и знаменатель дроби второго неравенства обращаются в ноль — 1 балл;
в) определены области плоскости, удовлетворяющие второму неравенству — 1 балл (этот балл суммируется с предыдущим).
На координатной плоскости рассматривается фигура M, состоящая из всех точек, координаты (x; y) которых удовлетворяют системе неравенств
Изобразите фигуру M и найдите её площадь.
Рассмотрим первое неравенство. Для раскрытия модулей рассматриваем три возможных случая.
1) При 
Тогда неравенство принимает вид
В этом случае решений нет.
2) При 
Тогда получаем
что выполняется при всех значениях y из рассматриваемого промежутка.
3) При 
Тогда
то есть решений также нет.
Объединяя результаты, получаем, что 
Перейдём ко второму неравенству. Знаменатель дроби в его левой части обрушается в ноль в точках, принадлежащих прямой 
(назовём её ℓ при этом неравенство не выполнено, так как дробь не определена). Числитель дроби обращается в ноль при
Это множество точек есть парабола с ветвями влево и вершиной в точке 
Заметим, что парабола и прямая пересекают ось абсцисс в точках 
и 
соответственно. Точки пересечения прямой ℓ и параболы можно определить из системы уравнений
Отсюда выходят две точки — 
и 
Второе неравенство выполняется:
а) в точках параболы (кроме точек A и C);
б) в точках справа от параболы и выше прямой (при этом и числитель, и знаменатель дроби положительны);
в) в точках слева от параболы и ниже прямой (и числитель, и знаменатель дроби отрицательны).
Учитывая также ограничение 
из первого неравенства, получаем, что множество М представляет собой совокупность двух множеств и первое из них есть криволинейный треугольник BCD (его сторонами являются отрезки CD, BD и дуга параболы BC), а второе — область, ограниченная отрезком AC и дугой параболы AC (при этом все точки прямой AC не принадлежат множеству, а остальные граничные точки — принадлежат).
Из симметрии параболы относительно своей оси (т. е. прямой 
следует, что площадь фигуры ограниченной отрезком BC и дугой параболы BC, равна площади 
Но а площадь этого треугольника несложно найти:
Ответ: 8.
Построено множество точек — 4 балла.
Если при этом неверно учтена граница множества (т. е. либо не исключены участки границы, на которых знаменатель обращается в 0, либо исключены участки границы, в которых числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, либо невозможно понять, какие из границ принадлежат множеству) — снять 1 балл.
Найдена площадь фигуры — 2 балла (эти баллы ставятся только в том случае, если множество точек построено верно или отличается от верного лишь некоторым количеством граничных точек).
За неполное построение множества возможны частичные баллы:
а) определено множество решений первого неравенства — 1 балл;
б) построены множества точек, в которых числитель и знаменатель дроби второго неравенства обращаются в ноль — 1 балл;
в) определены области плоскости, удовлетворяющие второму неравенству — 1 балл (этот балл суммируется с предыдущим).
Даны сто квадратных трехчленов, все старшие коэффициенты которых различны. Оказалось, что графики любых двух из них имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики всех трехчленов имеют общую точку.
Если графики двух квадратных трёхчленов имеют ровно одну общую точку, значит, разность этих трёхчленов имеет ровно один корень, то есть она либо линейная функция, чего не может быть по условию, так как старшие коэффициенты трёхчленов различны, либо полный квадрат.
Рассмотрим 3 квадратных трёхчлена f, g и h. Пусть 
Тогда
Этот трёхчлен тоже должен и меть единственный корень.
Если числа a и b одного знак а, то
во всех точках, за исключением случая, когда 
Если числа a и b одного знака, то
в точках и принимает значения разных знаков, то есть точно имеет 2 корня (если только и опять же не равны).
Значит,
и 
т. е. 
имеет корень в той же точке, что и 
и 
т. е. графики трёхчленов 
и h имеют одну общую точку. Подставляя вместо h любой другой трёхчлен из данного набора, получаем, что его график проходит через общую точку графиков f и g, значит, графики всех трёхчленов имеют общую точку.
Даны сто квадратных трехчленов. Оказалось, что графики любых двух из них имеют ровно одну общую точку, однако графики любах трех из них общей точки не имеют. Докажите, что как минимум у пятидесяти из этих трехчленов старшие коэффициенты совпадают.
Если графики двух квадратных трёхчленов имеют ровно одну общую точку, значит, разность этих трёхчленов имеет ровно один корень, то есть она либо линейная функция, либо полный квадрат.
Рассмотрим 3 квадратных трёхчлена f, g и h с различными старшими коэффициентами. Их разности не могут быть линейными функциями. Пусть
Тогда
Этот трёхчлен тоже должен иметь единственный корень.
Если числа a и b одного знака, то
во всех точках, за исключением случая, когда Если числа a и b одного знака, то
в точках и принимает значения разных знаков, то есть точно имеет 2 корня (если только и опять же не равны). Значит, 
и
т. е. имеет корень в той же точке, что и и 
т. е. графики трёхчленов f, g и h имеют одну общую точку. Противоречие.
Значит, таких трёх трёх членов не существует, то есть возможных значений старший коэффициентам только два. Следовательно, хотя бы у половины трёхчленов старший коэффициент одинаковый.
Отображение f плоскости сопоставляет точке с координатами 
точку 
а) Найдите число элементов в прообразах точек 
б) Найдите множество значений отображения f.
в) Докажите, что при всех действительных c образы прямых 
и 
совпадают и являются касательными фиксированной параболы.
Точка 
входит в множество значений отображения f тогда и только тогда, когда имеет решение система
значит, 
а) Точка A не имеет прообраза. Прообраз B — точка 
а прообраз C состоит из двух точек.
Ответ:
б) См. рисунок.
в) Точки 
и 
лежат на прямых и соответственно и переходят при отображении f в точку 
лежащую на прямой 
касающейся 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите уравнение 
б) Найдите множество всех точек плоскости, являющихся серединами отрезков, концы которых лежат на 
в) Найдите все такие a, при которых функция 
нечетная.
г) Найдите все такие b, что при любом a уравнение 
имеет решение.
а) Перепишем уравнение в виде 
и преобразуем при условии 
Ответ: 
б) Точка с координатами
является серединой отрезка, концы которого лежат на кривой 
тогда и только тогда, когда найдутся такие числа a и b, что
Исключая очевидное решение 
приходим к уравнению 
которое разрешимо при 
Пункт 1б) не обнаружен в файле. Решения нет.
Ответ: на рисунке.
в) При 
получаем 
Но если нечетная функция определена при 
то 
поэтому либо 
либо 
Итак, остается проверить 
и 
При получим
что определено при и не определено при 
поэтому функция не будет нечетной.
При 
получим
и 
при всех x. Решим
что верно. Осталось еще объяснить, что и 
определены при одних и тех же x. Ясно, что при всех 
а при 
Поскольку произведение этих выражений всегда положительно, то на самом деле оба они всегда одного знака, то есть оба положительны. Значит, логарифмы определены.
Ответ: 
г) Изобразим график 
(см. рис.). Прямые 
проходят через точку 
на оси ординат. Поэтому вопрос сводится к такому — какие точки на оси ординат обладают таким свойством — любая невертикальная прямая, проведенная через них, пересекает график 
Очевидно при 
можно провести горизонтальную прямую и она не пересечет график, при 
точка 
лежит на графике, а при 
прямые с неотрицательным k пересекают график во второй четверти, а с отрицательным k — в первой четверти (возможно есть и второе пересечение, но это неважно).
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
на рисунке.
г) Изобразим график (см. рис.). Прямые проходят через точку на оси ординат. Поэтому вопрос сводится к такому — какие точки на оси ординат обладают таким свойством — любая невертикальная прямая, проведенная через них, пересекает график Очевидно при можно провести горизонтальную прямую и она не пересечет график, при точка лежит на графике, а при прямые с неотрицательным k пересекают график во второй четверти, а с отрицательным k — в первой четверти (возможно есть и второе пересечение, но это неважно).
Пусть 
а) Решите неравенство 
б) Найдите множество значений функции f.
в) Найдите число положительных решений уравнения 
а) Сделаем сразу замену 
тогда 
и 
Пусть 
Отметим также, что каждому 
соответствует ровно одно 
и наоборот. Тогда неравенство примет вид
а учитывая условие —
Тогда 
или 
где 
Ответ:
б) Очевидно это множество совпадает с множеством значений функции 
при 
то есть квадратного трехчлена 
с отрицательным старшим коэффициентом. Наибольшее его значение достигается при 
и равно 
поэтому множество значений его 
Ответ: 
в) Рассмотрим функцию
которая связана с f соотношением 
Имеется взаимно однозначное соответствие 
между положительными решениями уравнения 
и решениями уравнения 
лежащими на луче 
График 
для 
изображен на рисунке, откуда и получаем ответ: уравнение имеет один корень при 
и два — при 
После той же замены мы получим уравнение 
при условии 
Функция 
убывает при 
причем 
Значит, функция 
убывает до корня уравнения 
а затем возрастает. Поэтому она принимает все значения на промежутке 
а потом — на промежутке 
Поэтому уравнение имеет единственный корень при 
два корня при 
один корень при и не имеет корней при 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Докажите, что уравнение 
имеет два различных действительных корня, если 
Верно ли обратное утверждение?
б) Решите уравнение 
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
действительных чисел, что функция 
монотонна на всей числовой прямой.
г) Абсциссы двух точек пересечения некоторой прямой с графиком функции 
равны 
и 
Найдите абсциссы остальных точек пересечения.
а) Пусть
Так как 
то 
значит, парабола, являющаяся графиком функции p, пересечет ось абсцисс в двух разных точках. Обратное утверждение неверно, пример — на рисунке.
б) Из цепочки
следует, что 
и 
или 
Ответ: 
в) На рисунке изображено множество пар
заданное неравенством 
так как производная 
данной функции должна сохранять знак на всей оси.
Ответ: см. рисунок.
г) Абсциссы точек пересечения прямой 
с графиком функции являются корнями уравнения
следовательно, их сумма равна нулю.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
см. рисунок. а) Докажите, что уравнение имеет два различных действительных корня, если 
Верно ли обратное утверждение?
б) Решите уравнение
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
действительных чисел, что неравенство 
верно при всех 
г) Существует ли прямая, пересекающая кривую 
в трех различных точках?
а) Пусть 
Заметим, что
то есть 
и 
имеют разные знаки. Значит, на отрезке 
есть один корень уравнения 
а всего корней два (если бы он был один, то график 
касался бы оси абсцисс и функция не принимала бы значений разных знаков). Обратное утверждение неверно, если, например, оба корня не лежат на этом отрезке, как у трехчлена 
тогда корнями будут 
и 
а
б) Так как 
то равенство возможно лишь в тех случаях, когда 
откуда 
Для решений первой системы имеем 
откуда 
Поскольку k и l — целые числа, а 
получаем следующие варианты: 
или 
или 
или, наконец, 
и 
Ответ: 
в) Неравенство
задает множество пар лежащих в квадрате со сторонами, параллельными биссектрисам координатных углов, имеющем центр в точке с координатами 
Множество пар лежащих в каждом таком квадрате при 
является прямоугольником.
Ответ: см. рисунке.
г) Возьмем для примера прямую, проходящую через точки с координатами 
и 
(смотрите решение соответствующего пункта варианта 9).
Ответ: да, существует.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
см. рисунке. да, существует.а) Постройте эскиз графика функции 
б) Изобразите на плоскости множество точек 
для которых при всех x верно неравенство
в) Найдите наибольший радиус круга, лежащего в верхней полуплоскости, касающегося оси абсцисс в начале координат и не имеющего других общих точек с параболой 
г) Докажите, что 
при всех натуральных n.
а) Ясно, что функция 
определена только при 
и при условии 
то есть 
При таких x преобразуем функцию
Обозначим временно 
и решим неравенство 
Метод интервалов дает ответ 
то есть 
Если бы мы строили график 
то он был бы гиперболой с вертикальной асимптотой 
и горизонтальной
Поскольку —
эскиз графика 
(несколько подходящих точек поставлены точно) и результат отражения нижней части графика для получения итогового ответа 
Ответ: см. рис.
б) Перепишем неравенство в виде
Ясно, что 
принимает все значения от −1 до 1 включительно. Тогда наименьшее значение левой части равно 
а знак можно выбрать так, чтобы результат был отрицательным. Итак, требуется чтобы 
И наоборот, выполнения этого неравенства достаточно, чтобы условие
выполнялось всегда. Построим график 
и отметим все точки ниже этого графика.
Ответ: 
(см. рис.).
в) Обозначим центр этого круга за 
—
или 
Эта окружность не должна иметь общих точек с графиком 
кроме точки и этого достаточно — ведь тогда весь круг будет лежать внутри параболы. Попробуем найти их общие точки. Подставим в уравнение окружности 
или 
Значит либо (это разрешается), либо 
Это уравнение не имеет корней при 
имеет корень при 
и имеет другие корни при 
Поэтому максимальный радиус круга равен 
Ответ:
г) Пусть 
Если 
то 
а при
Осталось заметить, что
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
(см. рис.). Наверх